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混合整数线性规划基础：基于问题 -凯发k8网页登录

此示例说明如何求解混合整数线性问题。该示例并不复杂，但它说明了使用基于问题的方法表示问题的典型步骤。有关展示此示例的视频，请参阅。

要了解如何通过基于求解器的方法处理此问题，请参阅混合整数线性规划基础：基于求解器。

问题描述

您要混合具有不同化学组成的钢材，以获得 25 吨具有某一特定化学组成的钢材。所得钢材应包含 5% 的碳和 5% 的钼（以重量计），即 25 吨 *5% = 1.25 吨碳和 1.25 吨钼。目标是将混合钢材的成本降至最低。

此问题摘自以下文献：carl-henrik westerberg, bengt bjorklund, and eskil hultman, “an application of mixed integer programming in a swedish steel mill.”interfaces february 1977 vol. 7, no. 2 pp. 39–43，摘要可见于 。

有四种钢锭可供购买。每种钢锭只能购买一块。

ingotweightintons%carbon%molybdenumcostton1553$3502343$3303454$3104634$280

有三种等级的合金钢和一种等级的废钢可供购买。合金和废钢不必整吨购买。

alloy%carbon%molybdenumcostton186$500277$450368$400scrap39$100

表示问题

要表示此问题，首先要确定控制项变量。以变量 ingots(1) = 1 表示您购买钢锭 1，ingots(1) = 0 表示您不购买此钢锭。类似地，变量 ingots(2) 至 ingots(4) 也是二元变量，用于指示您是否购买钢锭 2 至 4。

变量 alloys(1) 至 alloys(3) 分别是您购买的合金 1、2 和 3 的吨数，scrap 是您购买的废钢的吨数。

steelprob = optimproblem;
ingots = optimvar('ingots',4,'type','integer','lowerbound',0,'upperbound',1);
alloys = optimvar('alloys',3,'lowerbound',0);
scrap = optimvar('scrap','lowerbound',0);

创建与变量相关联的成本表达式。

weightingots = [5,3,4,6];
costingots = weightingots.*[350,330,310,280];
costalloys = [500,450,400];
costscrap = 100;
cost = costingots*ingots   costalloys*alloys   costscrap*scrap;

将成本作为目标函数包含在问题中。

steelprob.objective = cost;

该问题有三个等式约束。第一个约束是总重量为 25 吨。计算钢的重量。

totalweight = weightingots*ingots   sum(alloys)   scrap;

第二个约束是碳的重量为 25 吨的 5%，即 1.25 吨。计算钢中碳的重量。

carboningots = [5,4,5,3]/100;
carbonalloys = [8,7,6]/100;
carbonscrap = 3/100;
totalcarbon = (weightingots.*carboningots)*ingots   carbonalloys*alloys   carbonscrap*scrap;

第三个约束是钼的重量为 1.25 吨。计算钢中钼的重量。

molybingots = [3,3,4,4]/100;
molyballoys = [6,7,8]/100;
molybscrap = 9/100;
totalmolyb = (weightingots.*molybingots)*ingots   molyballoys*alloys   molybscrap*scrap;

在问题中包含约束。

steelprob.constraints.conswt = totalweight == 25;
steelprob.constraints.conscarb = totalcarbon == 1.25;
steelprob.constraints.consmolyb = totalmolyb == 1.25;

求解问题

现已具备所有输入，请调用求解器。

[sol,fval] = solve(steelprob);
solving problem using intlinprog.
lp:                optimal objective value is 8125.600000.                                          
cut generation:    applied 3 mir cuts.                                                              
                   lower bound is 8495.000000.                                                      
                   relative gap is 0.00%.                                                          
optimal solution found.
intlinprog stopped at the root node because the objective value is within a gap
tolerance of the optimal value, options.absolutegaptolerance = 0 (the default
value). the intcon variables are integer within tolerance,
options.integertolerance = 1e-05 (the default value).

查看解。

sol.ingots
ans = 4×1
    1.0000
    1.0000
         0
    1.0000

sol.alloys
ans = 3×1
    7.2500
         0
    0.2500

sol.scrap
ans = 3.5000

fval
fval = 8.4950e 03

最优购买成本为 8495 美元。购买钢锭 1、2 和 4，但不购买 3，并购买 7.25 吨合金 1、0.25 吨合金 3 和 3.5 吨废钢。

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