频率响应描述系统对变化频率的正弦输入的稳态响应，借助频率响应，控制工程师可在频域中分析和设计控制系统。
我们以原声吉他为例，说明频域的重要性。如果我们将麦克风放在原声吉他的共鸣板附近，拨动一根琴弦（图 1 左），振动的琴弦将在吉他腔体中引起共振并产生声波，该声波被麦克风捕获。如果查看所捕获信号的时间轨迹（图 1 右），很难一下子理解刚才发生了什么。
图 1：振动在吉他腔体中引起共振并产生声波（左）。信号在时域中的时间轨迹（右）。
如果我们使用频谱分析仪或对时域信号进行快速傅里叶变换 (fft)，从而在频域中观察这个信号，就能看到在某个频率处有一个振幅峰值（图 2 左）。此峰值频率是构成我们刚才弹奏的音符的基础音调。当我们调整调音器旋钮或将琴弦压到吉他琴颈时，会改变这根琴弦的预紧量或有效长度。这将提高或降低琴弦共振的频率，从而产生不同音符（图 2 右）。通过这一简单的频域分析，我们可以看到吉他（系统）对弹拨（系统输入）的响应。
图 2：同一信号在频域中的显示（左）。通过预紧琴弦更改其共振频率（右）。
我们可以用类似的方法观察其他系统对输入或环境激励的响应。我们可以深入了解系统动态特性，例如闭环系统的谐振峰值频率、直流增益、带宽、相位延迟以及相位和增益裕度。
获取系统的频率响应
您可以使用 matlab® 和 simulink® 获取系统的频率响应，下图有助于您确定具体方法（如灰色框所示）。
- 如果系统具备传递函数或状态空间模型形式的线性表示，则可以使用以下三种图之一来绘制频率响应：、或。波特图将幅值和相位表示为激励信号频率的函数（图 4）。
例如，假设系统 \((h)\) 有如下传递函数表示：
$$h(s) = {s^2 0.1s 7.5\over s^4 0.12s^3 9s^2}.$$
您可以使用以下命令在 matlab 中绘制其频率响应：
\(h = {tf([1 \quad 0.1\quad 7.5], [1 \quad 0.12 \quad 9 \quad 0 \quad 0]});\)
\(bode(h)\)
图 4：波特图。
某些情况下，系统可能不具备线性表示。
- 此时，如果您可以访问物理系统的输入输出测试数据，则可以通过 system identification toolbox™ 使用数据驱动的建模方法来识别系统的传递函数、状态空间表示和频率响应模型。
- 如果您使用 simulink 对系统动态特性建模，则可以使用 simulink control design™ 中的模型线性化工具来线性化模型，以创建 simulink 模型的线性状态空间逼近，并绘制频率响应。
- 如果 simulink 模型因其不连续性而无法线性化，您可以使用频率响应估计来直接估计频率响应模型。
图 5：simulink 中的频率响应估计。
simulink control design 提供两种方法来估计系统的频率响应模型。
以指定频率的输入扰动信号激励系统，并在仿真期间记录模型输出端的响应（图 5）。在仿真后，对记录的输入和输出信号进行处理以计算模型的频率响应。
在实时运行期间使用 估计物理被控对象的频率响应。该模块在标称工作点上将正弦测试信号注入被控对象，频率响应随着输出信号数据的采集而不断完善。
您可以参考下表，对照您在估计的频率范围、准确度和速度方面的要求，选择要注入何种扰动信号。
| 输入信号类型 | 离线/在线估计适用性 | 频率范围（窄带/宽带） | 准确度 | 估计速度 | 适用情形 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 至 5 星（由低到高） | |||||
| 正弦流 | 离线、在线 | 窄带 | ★★★★★ | ★ | 系统具有明显的非线性，或您需要高准确度的频率响应模型。 |
| 线性调频 | 离线 | 宽带 | ★★ | ★★★ | 系统在频率范围内近乎线性。也适用于要快速获得大量频率点的响应的情形。 |
| prbs | 离线 | 宽带 | ★★ | ★★★ | 系统包含高频开关组件，如通信和电力电子系统。 |
| 阶跃 | 离线 | 宽带 | ★ | ★★★ | 以不超过奈奎斯特频率的各频率均匀激励系统 |
| 随机 | 离线 | 宽带 | ★★ | ★★★ | 您对所估计的系统了解不多。 |
总的来说，计算系统的频率响应对于控制分析和设计很重要。matlab 和 simulink 提供不同方法来帮助您获得系统的频率响应。要了解有关这些方法的详细信息，请参阅以下示例和参考。