使用实时编辑器创建交互式课程材料 -凯发k8网页登录

下面是一个如何在课堂中使用实时脚本的示例。以下示例演示如何：

添加方程用于解释底层数学原理。
执行 matlab® 代码的各个节。
纳入绘图以实现可视化。
使用链接和图像提供支持信息。
使用 matlab 代码进行交互式试验。
使用其他示例加深概念理解。
使用实时脚本进行赋值。

计算 1 的 n 次方根意味着什么？

为您要讲解的概念添加方程以解释底层数学原理。要添加方程，请转至插入选项卡并点击方程按钮。然后，从方程选项卡中选择符号和结构体。

现在我们探讨如何计算 1 的根。计算 1 的 n 次方根意味着什么？1 的 n 次方根是方程 $x^{n} - 1 = 0$ 的解。

对于平方根，很容易计算。值为 $x = \pm \sqrt{1} = \pm 1$ 。对于高阶根，则要困难很多。要计算 1 的立方根，需要对方程 $x^{3} - 1 = 0$ 求解。我们可以分解此方程以获取

$(x - 1) (x^{2} x 1) = 0 .$

因此，第一个立方根是 1。现在，我们可以使用二次公式获取第二个和第三个立方根。

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a}$

计算立方根

要执行 matlab 代码的各个节，请转至实时编辑器选项卡，然后点击运行节按钮。输出与创建它的代码显示在一起。使用分节符按钮创建节。

在示例中，a、b 和 c 都等于 1。其他两个根基于下列公式计算得到：

a = 1 ; b = 1 ; c = 1;
roots = [];
roots(1) = 1;
roots(2) = (-b   sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);    % use the quadratic formula
roots(3) = (-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);

因此 1 的完整立方根集合为：

disp(roots')

   1.0000   0.0000i
  -0.5000 - 0.8660i
  -0.5000   0.8660i

在复平面中显示根

在实时编辑器中纳入绘图，以便学生以可视方式了解重要概念。

我们可以在复平面中以可视方式呈现根以查看其位置。

range = 0:0.01:2*pi;                              
plot(cos(range),sin(range),'k')                % plot the unit circle                 
axis square; box off
ax = gca;
ax.xaxislocation = 'origin';
ax.yaxislocation = 'origin';
hold on
plot(real(roots), imag(roots), 'ro')           % plot the roots

figure contains an axes object. the axes object contains 2 objects of type line. one or more of the lines displays its values using only markers

计算高阶根

要添加支持信息，请转至插入选项卡，然后点击超链接和图像按钮。学生可以在课堂外使用支持信息了解课程主题。

一旦超过 $n = 3$ ，情况会变得更加棘手。可以使用 lodovico ferrari 在 1540 年发现的四次公式来获取 4 次方根。但此公式较长且难以处理，对于计算 4 次以上的根没有帮助。幸运地是，17 世纪的法国数学家 abraham de moivre 给出了更好的解决方法。

于 1667 年 5 月 26 日出生于香巴尼地区的维特里。他与 isaac newton、edmund halley 和 james stirling 是同代人，并且都是朋友。

他因而闻名于世，该定理在复数与三角学之间建立了关联，并且他在正态分布和概率论方面也做出了巨大贡献。de moivre 撰写了一本关于概率论的书，倍受赌博者的推崇。de moivre 首先发现了，它是 fibonacci 数的闭型表达式，该公式将黄金分割率 φ 的 n 次幂与第 n 个 fibonacci 数建立关联。他也是第一个做出假设的人，这一定理奠定了概率论的基础。

de moivre 定理阐释，对于任何实数 x 和任何整数 n，

${(\cos x i \sin x)}^{n} = \cos (nx) i \sin (nx) .$

这如何帮助我们解决我们的问题？我们还知道，对于任何整数 k，

$1 = \cos (2 k π) i \sin (2 k π) .$

因此，根据 de moivre 定理，可以得到

$1^{1 / n} = {(\cos (2 k π) i \sin (2 k π))}^{1 / n} = \cos (\frac{2 k π}{n}) i \sin (\frac{2 k π}{n}) .$

计算 1 的 n 次方根

使用实时编辑器对 matlab 代码进行交互式试验。添加控件以向学生展示重要参数会对分析产生怎样的影响。要添加控件，请转至实时编辑器选项卡，点击控件按钮，然后从可用选项中进行选择。

我们可以使用此最后一个方程计算 1 的 n 次方根。例如，对于任何值 n，我们可以将值 $k = 0 \dots n - 1$ 用于上述公式。我们可以使用此 matlab 代码对不同的 n 值进行试验：

n = 6;
roots = zeros(1, n);
for k = 0:n-1
    roots(k 1) = cos(2*k*pi/n)   1i*sin(2*k*pi/n);    % calculate the roots
end
disp(roots')

   1.0000   0.0000i
   0.5000 - 0.8660i
  -0.5000 - 0.8660i
  -1.0000 - 0.0000i
  -0.5000   0.8660i
   0.5000   0.8660i

在复平面中绘制的根显示，这些根以 $2 π / n$ 间隔等间距分布在单位圆上。

cla
plot(cos(range),sin(range),'k')                   % plot the unit circle
hold on
plot(real(roots),imag(roots),'ro')              % plot the roots

figure contains an axes object. the axes object contains 2 objects of type line. one or more of the lines displays its values using only markers

计算 -1、i 和 -i 的 n 次方根

使用其他示例加深对重要概念的理解。在讲课过程中修改代码以回答问题或者更深入地探讨想法。

只需对上述方法进行延伸，即可计算出 -1、i 和 -i 的根。如果观察一下单位圆，可以看出值 1、i、-1、-i 分别出现在角度 $0$ 、 $π / 2$ 、 $π$ 和 $3 π / 2$ 位置。

r = ones(1,4);
theta = [0 pi/2 pi 3*pi/2];
[x,y] = pol2cart(theta,r);
cla
plot(cos(range),sin(range),'k')           % plot the unit circle
hold on
plot(x, y, 'ro')                          % plot the values of 1, i, -1, and -i
text(x(1) 0.05,y(1),'1')                  % add text labels
text(x(2),y(2) 0.1,'i')
text(x(3)-0.1,y(3),'-1')
text(x(4)-0.02,y(4)-0.1,'-i')

figure contains an axes object. the axes object contains 6 objects of type line, text. one or more of the lines displays its values using only markers

清楚这一点后，可以对 i 编写以下表达式：

$i = \cos ((2 k 1 / 2) π) i \sin ((2 k 1 / 2) π) .$

对等式的两端取 n 次方根，得到

$i^{1 / n} = {(\cos ((2 k 1 / 2) π) i \sin ((2 k 1 / 2) π))}^{1 / n}$

通过 de moivre 定理，得到

$i^{1 / n} = {(\cos ((2 k 1 / 2) π) i \sin ((2 k 1 / 2) π))}^{1 / n} = \cos (\frac{(2 k 1 / 2) π}{n}) i \sin (\frac{(2 k 1 / 2) π}{n}) .$

家庭作业

以实时脚本为基础分配作业。为学生提供课堂中使用的实时脚本，并让学生完成练习，从而测试学生对课堂内容的理解程度。

使用上述方法完成以下练习：

练习 1：编写 matlab 代码，计算 i 的 3 个立方根。

% put your code here

练习 2：编写 matlab 代码，计算 -1 的 5 个 5 次方根。

% put your code here

练习 3：描述计算任意复数的 n 次方根的数学方法。提供该方法所用的方程。

（在此处描述该方法。）