带约束的非线性方程组 -凯发k8网页登录

求解具有不等式约束的方程

fsolve 求解非线性方程组。但是，它不允许您包含任何约束，甚至是边界约束。那么，如何求解带约束的非线性方程组？

满足您的约束的解不一定存在。事实上，此问题可能没有任何解，哪怕是不满足约束的解。然而，有一些方法可以帮助您搜索满足约束的解。

为了说明这些方法，假设要设法求解以下方程

$\begin{array}{c} f_{1} (x) = (x_{1} 1) (10 - x_{1}) \frac{1 x_{2}^{2}}{1 x_{2}^{2} x_{2}} \\ f_{2} (x) = (x_{2} 2) (20 - x_{2}) \frac{1 x_{1}^{2}}{1 x_{1}^{2} x_{1}}, \end{array}$

其中 $x$ 的分量必须为非负值。这些方程有四个解：

$\begin{array}{l} x = (- 1, - 2) \\ x = (10, - 2) \\ x = (- 1, 20) \\ x = (10, 20) . \end{array}$

只有一个解满足约束，即 $x = (10, 20)$ 。

位于此示例末尾的 fbnd 辅助函数会以数值方式计算 $f (x)$ 。

使用不同起点

一般情况下，包含 $n$ 个变量、 $n$ 个方程的方程组有孤立的解，这意味着每个解都没有同为解的邻点。因此，搜索满足某些约束的解的一种方法是生成多个初始点 x0，然后从每个 x0 开始运行 fsolve。

对于此示例，要寻找方程组 $f (x) = 0$ 的解，请取 10 个随机点，这些点呈正态分布，均值为 0，标准差为 100。

rng default % for reproducibility
n = 10; % try 10 random start points
pts = 100*randn(n,2); % initial points are rows in pts
soln = zeros(n,2); % allocate solution
opts = optimoptions('fsolve','display','off');
for k = 1:n
    soln(k,:) = fsolve(@fbnd,pts(k,:),opts); % find solutions
end

列出满足约束的解。

idx = soln(:,1) >= 0 & soln(:,2) >= 0;
disp(soln(idx,:))

   10.0000   20.0000
   10.0000   20.0000
   10.0000   20.0000
   10.0000   20.0000
   10.0000   20.0000

使用不同算法

fsolve 有三种算法。每种算法可能得到不同的解。

例如，采用 x0 = [1,9] 并检查每个算法返回的解。

x0 = [1,9];
opts = optimoptions(@fsolve,'display','off',...
    'algorithm','trust-region-dogleg');
x1 = fsolve(@fbnd,x0,opts)

x1 = 1×2
   -1.0000   -2.0000

opts.algorithm = 'trust-region';
x2 = fsolve(@fbnd,x0,opts)

x2 = 1×2
   -1.0000   20.0000

opts.algorithm = 'levenberg-marquardt';
x3 = fsolve(@fbnd,x0,opts)

x3 = 1×2
    0.9523    8.9941

此处，对于同一个初始点，三种算法得到的解各不相同。都不满足约束。报告的“解”x3 甚至不是解，而只是局部平稳点。

使用带边界的 `lsqnonlin`

lsqnonlin 尝试最小化向量函数 $f (x)$ 中各分量的平方和。因此，它尝试求解方程 $f (x) = 0$ 。此外，lsqnonlin 接受边界约束。

针对 lsqnonlin 构造示例问题并对其求解。

lb = [0,0];
rng default
x0 = 100*randn(2,1);
[x,res] = lsqnonlin(@fbnd,x0,lb)

local minimum found.
optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

x = 2×1
   10.0000
   20.0000

res = 2.4783e-25

在本例中，lsqnonlin 收敛于满足约束的解。您可以结合使用 lsqnonlin 和 global optimization toolbox multistart 求解器，自动基于多个初始点进行搜索。请参阅multistart using lsqcurvefit or lsqnonlin (global optimization toolbox)。

将方程和不等式设置为 `fmincon` 约束

您可以按照以下方式重新表示问题并使用 fmincon：

给出常数目标函数，如 @(x)0，该函数对每个 x 的计算结果为 0。
将 fsolve 目标函数设置为 fmincon 中的非线性等式约束。
以通常的 fmincon 语法给出任何其他约束。

此示例末尾的 fminconstr 辅助函数实现非线性约束。求解约束问题。

lb = [0,0]; % lower bound constraint
rng default % reproducible initial point
x0 = 100*randn(2,1);
opts = optimoptions(@fmincon,'algorithm','interior-point','display','off');
x = fmincon(@(x)0,x0,[],[],[],[],lb,[],@fminconstr,opts)

x = 2×1
   10.0000
   20.0000

在本例中，fmincon 从起点求解问题。

辅助函数

以下代码创建 fbnd 辅助函数。

function f = fbnd(x)
f(1) = (x(1) 1)*(10-x(1))*(1 x(2)^2)/(1 x(2)^2 x(2));
f(2) = (x(2) 2)*(20-x(2))*(1 x(1)^2)/(1 x(1)^2 x(1));
end

以下代码创建 fminconstr 辅助函数。

function [c,ceq] = fminconstr(x)
c = []; % no nonlinear inequality
ceq = fbnd(x); % fsolve objective is fmincon nonlinear equality constraints
end

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求解具有不等式约束的方程

使用不同起点

使用不同算法

使用带边界的 lsqnonlin

将方程和不等式设置为 fmincon 约束

辅助函数

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